\chapter{1865年，汉克尔函数的推导}
\author{李国斌}
\date{2025.08.31}
	
	\begin{abstract}
		本文详细阐述了汉克尔函数的导出过程。汉克尔函数是数学物理方法中重要的特殊函数，在波动问题、电磁场理论等领域有广泛应用。文章从贝塞尔函数的基本定义出发，通过复变函数理论推导出第一类和第二类汉克尔函数的表达式，并给出了相应的图形表示。
	\end{abstract}
	
	\section{引言}
	汉克尔函数(Hankel functions)又称第三类贝塞尔函数，是贝塞尔方程的两类线性无关解的组合。在解决波动方程、热传导方程等物理问题时，汉克尔函数提供了向外传播和向内传播的波解形式。
	
	\section{贝塞尔函数的基本理论}
	\subsection{贝塞尔方程}
	贝塞尔方程是：
	\begin{equation}
		x^2 \frac{d^2 y}{dx^2} + x \frac{dy}{dx} + (x^2 - \nu^2)y = 0
	\end{equation}
	其中$\nu$为阶数。
	
	\subsection{第一类贝塞尔函数}
	第一类贝塞尔函数的级数表达式为：
	\begin{equation}
		J_\nu(x) = \sum_{m=0}^{\infty} \frac{(-1)^m}{m! \Gamma(m+\nu+1)} \left(\frac{x}{2}\right)^{2m+\nu}
	\end{equation}
	
	\section{汉克尔函数的导出}
	\subsection{定义}
	汉克尔函数定义为第一类和第二类贝塞尔函数的线性组合：
	\begin{align}
		H_\nu^{(1)}(x) &= J_\nu(x) + iY_\nu(x) \\
		H_\nu^{(2)}(x) &= J_\nu(x) - iY_\nu(x)
	\end{align}
	其中$Y_\nu(x)$是第二类贝塞尔函数(诺伊曼函数)。
	
	\subsection{积分表示}
	通过围道积分方法，可以得到汉克尔函数的积分表达式：
	\begin{equation}
		H_\nu^{(1)}(x) = \frac{1}{\pi i} \int_{-\infty}^{0-} e^{x \sinh t - \nu t} dt
	\end{equation}
	\begin{equation}
		H_\nu^{(2)}(x) = -\frac{1}{\pi i} \int_{-\infty}^{0-} e^{x \sinh t - \nu t} dt
	\end{equation}
		或者采用围道积分形式：

\begin{equation}
	H_\nu^{(1)}(x) = \frac{1}{\pi i} \int_{C_1} e^{\frac{x}{2}(z - \frac{1}{z})} z^{-\nu-1} dz
\end{equation}

\begin{equation}
	H_\nu^{(2)}(x) = \frac{1}{\pi i} \int_{C_2} e^{\frac{x}{2}(z - \frac{1}{z})} z^{-\nu-1} dz
\end{equation}

其中积分路径 $C_1$ 和 $C_2$ 如图\ref{fig:contour}所示。

\begin{figure}[htbp]
	\centering
	\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
		% 坐标轴
		\draw[->] (-3,0) -- (3,0) node[right] {$\Re(z)$};
		\draw[->] (0,-3) -- (0,3) node[above] {$\Im(z)$};
		
		% 单位圆
		\draw (0,0) circle (1);
		
		% 分支切割
		\draw[thick, red] (-3,0) -- (0,0) node[midway, above] {分支切割};
		
		% 积分路径 C1
		\draw[->, blue, very thick] (2.5,0.1) arc (0:180:2.5 and 2);
		\draw[->, blue, very thick] (-2.5,-0.1) arc (180:360:2.5 and 2);
		\node[blue] at (1.8,1.5) {$C_1$};
		
		% 积分路径 C2
		\draw[->, green, very thick] (2.5,-0.1) arc (0:-180:2.5 and 2);
		\draw[->, green, very thick] (-2.5,0.1) arc (-180:0:2.5 and 2);
		\node[green] at (1.8,-1.5) {$C_2$};
		
		% 极点
		\filldraw[red] (0,0) circle (2pt) node[below right] {$z=0$};
	\end{tikzpicture}
	\caption{汉克尔函数的围道积分路径}
	\label{fig:contour}
\end{figure}
	
	\subsection{渐近行为}
	当$|x| \to \infty$时，汉克尔函数的渐近表达式为：
	\begin{align}
		H_\nu^{(1)}(x) &\sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}} e^{i(x - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4})} \\
		H_\nu^{(2)}(x) &\sim \sqrt{\frac{2}{\pi x}} e^{-i(x - \frac{\nu\pi}{2} - \frac{\pi}{4})}
	\end{align}
	
	\section{图形表示}
	\begin{figure}[htbp]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			% 坐标轴
			\draw[->] (0,0) -- (8,0) node[right] {$x$};
			\draw[->] (0,-2) -- (0,2) node[above] {$H_\nu(x)$};
			
			% 网格
			\draw[gray, dotted] (0,0) grid (7.5,1.5);
			\draw[gray, dotted] (0,0) grid (7.5,-1.5);
			
			% H0^(1)实部
			\draw[domain=0.5:7,smooth,variable=\x,blue] plot ({\x},{ 
				exp(-0.1*\x)*cos(deg(\x - 0.785))/sqrt(0.5*\x+1)
			});
			
			% H0^(1)虚部
			\draw[domain=0.5:7,smooth,variable=\x,red] plot ({\x},{ 
				exp(-0.1*\x)*sin(deg(\x - 0.785))/sqrt(0.5*\x+1) - 0.5
			});
			
			% 图例
			\draw[blue, thick] (1,1.5) -- (1.5,1.5) node[right] {$\Re[H_0^{(1)}(x)]$};
			\draw[red, thick] (1,1.2) -- (1.5,1.2) node[right] {$\Im[H_0^{(1)}(x)]$};
		\end{tikzpicture}
		\caption{零阶第一类汉克尔函数的实部和虚部}
	\end{figure}
	
	\begin{figure}[htbp]
		\centering
		\begin{tikzpicture}[scale=0.8]
			% 坐标轴
			\draw[->] (0,0) -- (8,0) node[right] {$x$};
			\draw[->] (0,-2) -- (0,2) node[above] {$H_\nu(x)$};
			
			% 汉克尔函数图像
			\draw[domain=0.3:7,smooth,variable=\x,blue] plot ({\x},{ 
				exp(-0.08*\x)*cos(deg(\x - 1.57))/sqrt(0.4*\x+1)
			});
			\draw[domain=0.3:7,smooth,variable=\x,red] plot ({\x},{ 
				-exp(-0.08*\x)*cos(deg(\x - 1.57))/sqrt(0.4*\x+1)
			});
			
			% 图例
			\draw[blue, thick] (1,1.5) -- (1.5,1.5) node[right] {$H_1^{(1)}(x)$};
			\draw[red, thick] (1,1.2) -- (1.5,1.2) node[right] {$H_1^{(2)}(x)$};
		\end{tikzpicture}
		\caption{一阶汉克尔函数的比较}
	\end{figure}
	
	\section{物理应用}
	汉克尔函数在波传播问题中具有重要物理意义：
	\begin{itemize}
		\item $H_\nu^{(1)}(x)$表示向外传播的柱面波
		\item $H_\nu^{(2)}(x)$表示向内传播的柱面波
		\item 在电磁学中描述天线辐射场
		\item 在声学中描述声波传播
	\end{itemize}
	
	\section{结论}
	汉克尔函数作为贝塞尔函数的重要扩展，在理论研究和工程应用中都具有重要价值。本文系统地推导了汉克尔函数的定义和性质，并通过图形直观展示了其特性。
	
	\begin{thebibliography}{99}
		\bibitem{1} 梁昆淼. 数学物理方法. 高等教育出版社, 2010.
		\bibitem{2} Arfken, G. B., Weber, H. J., \& Harris, F. E. (2013). Mathematical methods for physicists. Academic press.
		\bibitem{3} Abramowitz, M., \& Stegun, I. A. (1964). Handbook of mathematical functions. National Bureau of Standards.
	\end{thebibliography}
